stai-alfurqan.ac.id

Daftar Sekarang

Program Linear: Contoh Soal Kelas 11

admin

·

·

Program Linear: Contoh Soal Kelas 11

Pendahuluan

Program linear merupakan salah satu materi penting dalam matematika yang banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang, mulai dari ekonomi, industri, hingga riset operasi. Materi ini mengajarkan kita bagaimana mengoptimalkan suatu tujuan (memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya) dengan mempertimbangkan berbagai kendala yang ada. Di tingkat Sekolah Menengah Atas (SMA) kelas 11 semester 1, program linear menjadi topik yang menarik untuk dipelajari karena melatih kemampuan berpikir logis, analitis, dan pemecahan masalah.

Artikel ini akan membahas contoh soal program linear yang umum ditemui pada jenjang kelas 11 semester 1. Pembahasan akan disusun secara sistematis, dimulai dari konsep dasar, perumusan model matematika, hingga metode penyelesaiannya. Diharapkan setelah membaca artikel ini, siswa dapat lebih memahami dan menguasai materi program linear.

Program Linear: Contoh Soal Kelas 11

Outline Artikel:

  1. Pendahuluan
    • Pengertian Program Linear
    • Pentingnya Program Linear
    • Tujuan Pembelajaran
  2. Konsep Dasar Program Linear
    • Fungsi Tujuan
    • Kendala (Batasan)
    • Variabel Keputusan
  3. Merumuskan Model Matematika
    • Identifikasi Variabel Keputusan
    • Perumusan Fungsi Tujuan
    • Perumusan Kendala
  4. Metode Penyelesaian Program Linear
    • Metode Grafis (untuk dua variabel)
    • Metode Garis Selidik
  5. Contoh Soal dan Pembahasan
    • Soal 1: Produksi Barang (Maksimasi Keuntungan)
    • Soal 2: Alokasi Sumber Daya (Minimasi Biaya)
    • Soal 3: Kombinasi Produksi (Mempertimbangkan Kapasitas)
  6. Tips dan Trik Mengerjakan Soal Program Linear
  7. Kesimpulan

1. Pendahuluan

Program linear adalah metode matematika yang digunakan untuk mencari nilai optimal (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi linear, dengan mempertimbangkan sejumlah kendala yang juga dinyatakan dalam bentuk linear. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak situasi yang dapat dimodelkan menggunakan program linear, seperti menentukan jumlah produk yang harus diproduksi agar keuntungan maksimal, atau menentukan rute pengiriman barang agar biaya minimal.

Mempelajari program linear di kelas 11 semester 1 bertujuan agar siswa mampu:

  • Mengidentifikasi masalah optimasi dalam konteks nyata.
  • Menerjemahkan masalah tersebut ke dalam model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear dan fungsi linear.
  • Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear menggunakan metode grafis.
  • Menentukan nilai optimal dari fungsi tujuan berdasarkan solusi dari sistem pertidaksamaan.

2. Konsep Dasar Program Linear

Sebelum masuk ke contoh soal, mari kita pahami beberapa konsep dasar dalam program linear:

  • Fungsi Tujuan (Objective Function): Ini adalah fungsi linear yang ingin kita optimalkan, baik dimaksimalkan (misalnya keuntungan) maupun diminimalkan (misalnya biaya). Fungsi ini biasanya dinyatakan dalam bentuk $Z = ax + by$, di mana $x$ dan $y$ adalah variabel keputusan.

  • Kendala (Constraints): Ini adalah batasan atau syarat yang harus dipenuhi oleh variabel keputusan. Kendala ini biasanya dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear, seperti $ax + by le c$, $ax + by ge c$, atau $ax + by = c$. Kendala ini bisa berupa keterbatasan bahan baku, jam kerja, kapasitas produksi, permintaan pasar, dan lain-lain.

  • Variabel Keputusan (Decision Variables): Ini adalah variabel yang nilainya ingin kita tentukan untuk mencapai tujuan optimal. Dalam konteks produksi, variabel keputusan biasanya mewakili jumlah unit dari setiap jenis produk yang akan diproduksi.

3. Merumuskan Model Matematika

Langkah pertama dalam menyelesaikan soal program linear adalah merumuskan model matematikanya. Proses ini meliputi:

  • Identifikasi Variabel Keputusan: Tentukan apa saja yang menjadi keputusan yang harus diambil. Biasanya ini adalah jumlah unit dari setiap jenis barang yang akan diproduksi atau dialokasikan. Misalkan kita menggunakan variabel $x$ dan $y$.

  • Perumusan Fungsi Tujuan: Berdasarkan informasi keuntungan per unit atau biaya per unit, buatlah fungsi linear yang menggambarkan total keuntungan atau total biaya.

  • Perumusan Kendala: Terjemahkan setiap batasan yang ada ke dalam bentuk pertidaksamaan linear. Pastikan untuk memasukkan kendala non-negatif, yaitu variabel keputusan tidak boleh bernilai negatif ($x ge 0, y ge 0$).

4. Metode Penyelesaian Program Linear

Untuk program linear dengan dua variabel keputusan, metode yang paling umum digunakan di tingkat SMA adalah metode grafis.

  • Metode Grafis:

    1. Gambar setiap pertidaksamaan linear pada sistem koordinat Kartesius. Untuk menggambar pertidaksamaan, ubah terlebih dahulu menjadi persamaan linear untuk mencari titik potong dengan sumbu $x$ dan sumbu $y$.
    2. Tentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan. Tanda $(le, ge)$ akan menentukan arah arsiran.
    3. Irisan dari semua daerah yang memenuhi adalah daerah penyelesaian (daerah layak atau feasible region). Daerah ini berbentuk poligon.
    4. Titik-titik sudut dari daerah penyelesaian disebut titik-titik ekstrim.
    5. Substitusikan koordinat setiap titik ekstrim ke dalam fungsi tujuan.
    6. Nilai terbesar dari hasil substitusi adalah nilai maksimum, dan nilai terkecil adalah nilai minimum.

  • Metode Garis Selidik: Setelah menemukan daerah penyelesaian, kita dapat menggunakan garis selidik untuk menemukan titik optimal. Garis selidik adalah garis lurus dengan gradien yang sama dengan gradien fungsi tujuan. Geser garis selidik sejajar ke arah yang sesuai (menjauhi titik asal untuk maksimasi, mendekati titik asal untuk minimasi) hingga menyentuh titik terakhir dari daerah penyelesaian. Titik tersebut adalah titik optimal.

5. Contoh Soal dan Pembahasan

Mari kita telaah beberapa contoh soal yang sering muncul.

Soal 1: Produksi Barang (Maksimasi Keuntungan)

Seorang pengusaha furnitur memproduksi dua jenis meja, yaitu meja makan dan meja belajar. Untuk memproduksi satu unit meja makan, diperlukan 2 jam kerja mesin dan 1 jam kerja tukang. Untuk memproduksi satu unit meja belajar, diperlukan 1 jam kerja mesin dan 2 jam kerja tukang. Pengusaha tersebut memiliki keterbatasan waktu kerja mesin paling banyak 80 jam per minggu dan waktu kerja tukang paling banyak 100 jam per minggu. Keuntungan dari penjualan satu unit meja makan adalah Rp300.000,00 dan satu unit meja belajar adalah Rp250.000,00. Tentukan jumlah masing-masing jenis meja yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimal.

See also  Persiapan UTS Kelas 3 Semester Genap: Kumpulan Soal dan Tips

Pembahasan:

  • Identifikasi Variabel Keputusan:
    Misalkan $x$ = jumlah unit meja makan yang diproduksi per minggu.
    Misalkan $y$ = jumlah unit meja belajar yang diproduksi per minggu.

  • Perumusan Fungsi Tujuan:
    Keuntungan dari meja makan = $300.000x$.
    Keuntungan dari meja belajar = $250.000y$.
    Fungsi tujuan (total keuntungan) $Z = 300.000x + 250.000y$. Kita ingin memaksimalkan $Z$.

  • Perumusan Kendala:

    • Kendala waktu kerja mesin: $2x + 1y le 80$
    • Kendala waktu kerja tukang: $1x + 2y le 100$
    • Kendala non-negatif: $x ge 0, y ge 0$

  • Menyelesaikan dengan Metode Grafis:
    Kita perlu menggambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan:

    1. $2x + y le 80$
      • Titik potong sumbu x (y=0): $2x = 80 Rightarrow x = 40$. Titik (40, 0).
      • Titik potong sumbu y (x=0): $y = 80$. Titik (0, 80).
    2. $x + 2y le 100$
      • Titik potong sumbu x (y=0): $x = 100$. Titik (100, 0).
      • Titik potong sumbu y (x=0): $2y = 100 Rightarrow y = 50$. Titik (0, 50).
    3. $x ge 0, y ge 0$ (Kuadran I)

    Selanjutnya, cari titik potong antara garis $2x + y = 80$ dan $x + 2y = 100$.
    Dari $2x + y = 80 Rightarrow y = 80 – 2x$.
    Substitusikan ke persamaan kedua:
    $x + 2(80 – 2x) = 100$
    $x + 160 – 4x = 100$
    $-3x = 100 – 160$
    $-3x = -60$
    $x = 20$

    Substitusikan $x=20$ kembali ke $y = 80 – 2x$:
    $y = 80 – 2(20) = 80 – 40 = 40$.
    Jadi, titik potong kedua garis adalah (20, 40).

    Titik-titik ekstrim daerah penyelesaian adalah:

    • O (0, 0)
    • A (40, 0) (titik potong $2x+y=80$ dengan sumbu x)
    • B (20, 40) (titik potong $2x+y=80$ dan $x+2y=100$)
    • C (0, 50) (titik potong $x+2y=100$ dengan sumbu y)

    Sekarang, substitusikan koordinat titik-titik ekstrim ke dalam fungsi tujuan $Z = 300.000x + 250.000y$:

    • Di O(0, 0): $Z = 300.000(0) + 250.000(0) = 0$.
    • Di A(40, 0): $Z = 300.000(40) + 250.000(0) = 12.000.000$.
    • Di B(20, 40): $Z = 300.000(20) + 250.000(40) = 6.000.000 + 10.000.000 = 16.000.000$.
    • Di C(0, 50): $Z = 300.000(0) + 250.000(50) = 12.500.000$.

    Keuntungan maksimal diperoleh di titik B(20, 40) dengan nilai Rp16.000.000,00.

  • Kesimpulan Soal 1:
    Agar diperoleh keuntungan maksimal, pengusaha tersebut harus memproduksi 20 unit meja makan dan 40 unit meja belajar per minggu.

Soal 2: Alokasi Sumber Daya (Minimasi Biaya)

Seorang petani ingin membeli pupuk untuk tanamannya. Ada dua jenis pupuk, yaitu pupuk A dan pupuk B. Setiap karung pupuk A mengandung 2 kg nitrogen dan 3 kg fosfat, serta harganya Rp15.000,00. Setiap karung pupuk B mengandung 4 kg nitrogen dan 2 kg fosfat, serta harganya Rp20.000,00. Petani tersebut membutuhkan minimal 12 kg nitrogen dan minimal 12 kg fosfat. Berapa karung pupuk A dan pupuk B yang harus dibeli agar biaya yang dikeluarkan minimal?

Pembahasan:

  • Identifikasi Variabel Keputusan:
    Misalkan $x$ = jumlah karung pupuk A yang dibeli.
    Misalkan $y$ = jumlah karung pupuk B yang dibeli.

  • Perumusan Fungsi Tujuan:
    Biaya untuk pupuk A = $15.000x$.
    Biaya untuk pupuk B = $20.000y$.
    Fungsi tujuan (total biaya) $Z = 15.000x + 20.000y$. Kita ingin meminimalkan $Z$.

  • Perumusan Kendala:

    • Kendala nitrogen: $2x + 4y ge 12$
    • Kendala fosfat: $3x + 2y ge 12$
    • Kendala non-negatif: $x ge 0, y ge 0$

  • Menyelesaikan dengan Metode Grafis:
    Kita perlu menggambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan:

    1. $2x + 4y ge 12$ (sederhanakan menjadi $x + 2y ge 6$)
      • Titik potong sumbu x (y=0): $x = 6$. Titik (6, 0).
      • Titik potong sumbu y (x=0): $2y = 6 Rightarrow y = 3$. Titik (0, 3).
    2. $3x + 2y ge 12$
      • Titik potong sumbu x (y=0): $3x = 12 Rightarrow x = 4$. Titik (4, 0).
      • Titik potong sumbu y (x=0): $2y = 12 Rightarrow y = 6$. Titik (0, 6).
    3. $x ge 0, y ge 0$ (Kuadran I)

    Karena tandanya $ge$, daerah penyelesaian berada di atas garis-garis tersebut.

    Cari titik potong antara garis $x + 2y = 6$ dan $3x + 2y = 12$.
    Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:
    $(3x + 2y) – (x + 2y) = 12 – 6$
    $2x = 6$
    $x = 3$

    Substitusikan $x=3$ kembali ke $x + 2y = 6$:
    $3 + 2y = 6$
    $2y = 3$
    $y = 1.5$
    Jadi, titik potong kedua garis adalah (3, 1.5).

    Titik-titik ekstrim daerah penyelesaian adalah titik-titik sudut yang membatasi daerah yang memenuhi semua kendala. Perhatikan bahwa daerah penyelesaian untuk $ge$ berada di atas garis-garis. Titik-titik yang relevan adalah:

    • Titik potong sumbu x antara $x + 2y = 6$ dan $3x + 2y = 12$. Perhatikan bahwa pada sumbu x, nilai y adalah 0. Dari $x + 2y = 6$, jika $y=0$ maka $x=6$. Dari $3x + 2y = 12$, jika $y=0$ maka $x=4$. Jadi, titik (4,0) adalah titik yang lebih dekat ke titik asal pada sumbu x dan memenuhi kedua pertidaksamaan.
    • Titik potong sumbu y antara $x + 2y = 6$ dan $3x + 2y = 12$. Perhatikan bahwa pada sumbu y, nilai x adalah 0. Dari $x + 2y = 6$, jika $x=0$ maka $y=3$. Dari $3x + 2y = 12$, jika $x=0$ maka $y=6$. Jadi, titik (0,3) adalah titik yang lebih dekat ke titik asal pada sumbu y dan memenuhi kedua pertidaksamaan.
    • Titik potong kedua garis: (3, 1.5).

    Titik-titik ekstrim daerah penyelesaian adalah:

    • A (4, 0)
    • B (3, 1.5)
    • C (0, 3)

    Sekarang, substitusikan koordinat titik-titik ekstrim ke dalam fungsi tujuan $Z = 15.000x + 20.000y$:

    • Di A(4, 0): $Z = 15.000(4) + 20.000(0) = 60.000$.
    • Di B(3, 1.5): $Z = 15.000(3) + 20.000(1.5) = 45.000 + 30.000 = 75.000$.
    • Di C(0, 3): $Z = 15.000(0) + 20.000(3) = 60.000$.

    Tunggu, ada yang perlu diperjelas pada titik ekstrim untuk kasus minimasi dengan kendala $ge$. Daerah penyelesaiannya tidak terbatas ke atas. Kita perlu memastikan titik-titik yang membatasi daerah yang feasible. Titik-titik yang membatasi daerah layak adalah titik potong antara garis-garis kendala dan sumbu koordinat yang relevan.

    Mari kita gambarkan ulang pemahamannya:

    • Garis 1: $x + 2y = 6$. Titik (6,0) dan (0,3). Daerah di atas garis.
    • Garis 2: $3x + 2y = 12$. Titik (4,0) dan (0,6). Daerah di atas garis.
    • $x ge 0, y ge 0$.

    Daerah yang memenuhi semua kondisi adalah daerah yang berada di kuadran I, di atas garis $x + 2y = 6$ DAN di atas garis $3x + 2y = 12$.
    Titik-titik sudut yang membatasi daerah ini adalah:

    1. Titik potong sumbu x: Dari kedua garis, nilai $x$ saat $y=0$ adalah 6 dan 4. Titik yang terdekat dengan asal yang memenuhi kedua kondisi adalah (4,0).
    2. Titik potong sumbu y: Dari kedua garis, nilai $y$ saat $x=0$ adalah 3 dan 6. Titik yang terdekat dengan asal yang memenuhi kedua kondisi adalah (0,3).
    3. Titik potong antara kedua garis: (3, 1.5).

    Jadi, titik-titik ekstrim yang benar adalah A(4,0), B(3,1.5), dan C(0,3).
    Perhitungan sebelumnya sudah benar.

    • Di A(4, 0): $Z = 60.000$.
    • Di B(3, 1.5): $Z = 75.000$.
    • Di C(0, 3): $Z = 60.000$.

    Nilai minimum yang didapat adalah Rp60.000,00. Nilai ini dicapai di dua titik: (4,0) dan (0,3). Ini berarti ada beberapa kombinasi yang memberikan biaya minimal.

    • Jika petani membeli 4 karung pupuk A dan 0 karung pupuk B, biaya Rp60.000.
    • Jika petani membeli 0 karung pupuk A dan 3 karung pupuk B, biaya Rp60.000.

    Namun, dalam konteks praktis, kita biasanya mencari satu solusi optimal. Perlu diperiksa kembali perhitungan atau pemahaman daerah. Jika ada dua titik ekstrim yang memberikan nilai minimum yang sama, maka seluruh segmen garis yang menghubungkan kedua titik tersebut juga merupakan solusi optimal.

    Mari kita pastikan kembali kebutuhan minimum:

    • Nitrogen: 12 kg

    • Fosfat: 12 kg

    • Jika beli 4 karung A (x=4, y=0):
      Nitrogen: $2(4) + 4(0) = 8$ kg. Ini TIDAK memenuhi kebutuhan minimal 12 kg nitrogen.

    • Jika beli 0 karung B (x=0, y=3):
      Nitrogen: $2(0) + 4(3) = 12$ kg. (Memenuhi)
      Fosfat: $3(0) + 2(3) = 6$ kg. Ini TIDAK memenuhi kebutuhan minimal 12 kg fosfat.

    Ini menunjukkan ada kesalahan dalam menentukan titik ekstrim yang benar atau dalam menginterpretasikan daerah penyelesaian. Mari kita evaluasi kembali kendala dan daerah penyelesaian.

    Kendala:

    1. $2x + 4y ge 12 implies x + 2y ge 6$
    2. $3x + 2y ge 12$
    3. $x ge 0, y ge 0$

    Titik-titik penting:

    • Garis 1: (6,0), (0,3). Daerah di atasnya.
    • Garis 2: (4,0), (0,6). Daerah di atasnya.

    Kita mencari daerah di kuadran I yang berada di atas kedua garis tersebut.
    Titik potong kedua garis adalah (3, 1.5).

    Titik ekstrim yang membatasi daerah penyelesaian adalah:

    • Titik potong sumbu x: Garis $3x+2y=12$ memotong sumbu x di (4,0). Garis $x+2y=6$ memotong sumbu x di (6,0). Karena kita butuh $ge 12$, maka titik (4,0) adalah titik yang relevan di sumbu x.
    • Titik potong sumbu y: Garis $x+2y=6$ memotong sumbu y di (0,3). Garis $3x+2y=12$ memotong sumbu y di (0,6). Karena kita butuh $ge 12$, maka titik (0,6) adalah titik yang relevan di sumbu y.
    • Titik potong kedua garis: (3, 1.5).

    Titik-titik ekstrim yang benar adalah:

    • A (4, 0)
    • B (3, 1.5)
    • C (0, 6)

    Mari kita uji titik-titik ini:

    • Di A(4, 0):
      Nitrogen: $2(4) + 4(0) = 8$ kg (TIDAK MEMENUHI 12 kg)
      Fosfat: $3(4) + 2(0) = 12$ kg (MEMENUHI)
      Titik (4,0) tidak layak karena tidak memenuhi kendala nitrogen.

    • Di C(0, 6):
      Nitrogen: $2(0) + 4(6) = 24$ kg (MEMENUHI)
      Fosfat: $3(0) + 2(6) = 12$ kg (MEMENUHI)
      Titik (0,6) layak.

    • Di B(3, 1.5):
      Nitrogen: $2(3) + 4(1.5) = 6 + 6 = 12$ kg (MEMENUHI)
      Fosfat: $3(3) + 2(1.5) = 9 + 3 = 12$ kg (MEMENUHI)
      Titik (3,1.5) layak.

    Sekarang, kita perlu titik yang membatasi daerah penyelesaian yang layak. Titik-titik ekstrim daerah layak adalah:

    1. Titik potong sumbu x yang memenuhi kedua kendala. Jika $y=0$, maka $2x ge 12 Rightarrow x ge 6$ dan $3x ge 12 Rightarrow x ge 4$. Maka titik yang paling dekat dengan asal adalah $x=6$. Titik (6,0).
    2. Titik potong sumbu y yang memenuhi kedua kendala. Jika $x=0$, maka $4y ge 12 Rightarrow y ge 3$ dan $2y ge 12 Rightarrow y ge 6$. Maka titik yang paling dekat dengan asal adalah $y=6$. Titik (0,6).
    3. Titik potong kedua garis: (3, 1.5).

    Titik-titik ekstrim yang benar adalah:

    • A (6, 0)
    • B (3, 1.5)
    • C (0, 6)

    Mari kita substitusikan ke fungsi tujuan $Z = 15.000x + 20.000y$:

    • Di A(6, 0): $Z = 15.000(6) + 20.000(0) = 90.000$.
    • Di B(3, 1.5): $Z = 15.000(3) + 20.000(1.5) = 45.000 + 30.000 = 75.000$.
    • Di C(0, 6): $Z = 15.000(0) + 20.000(6) = 120.000$.

    Nilai minimum diperoleh di titik B(3, 1.5) dengan biaya Rp75.000,00.

  • Kesimpulan Soal 2:
    Agar biaya yang dikeluarkan minimal, petani tersebut harus membeli 3 karung pupuk A dan 1.5 karung pupuk B. Namun, dalam kenyataan, pembelian pupuk tidak bisa setengah karung. Jika soal mengizinkan nilai desimal, maka ini adalah jawabannya. Jika harus bilangan bulat, maka perlu menggunakan metode program linear bilangan bulat, yang berada di luar cakupan materi kelas 11 semester 1. Asumsikan soal mengizinkan hasil desimal.

See also  Contoh Soal IPA Kelas 5 Semester 2

Soal 3: Kombinasi Produksi (Mempertimbangkan Kapasitas)

Sebuah pabrik roti memproduksi dua jenis kue, yaitu kue cokelat dan kue vanila. Untuk membuat 1 loyang kue cokelat, dibutuhkan 2 kg tepung dan 1 kg gula. Untuk membuat 1 loyang kue vanila, dibutuhkan 1 kg tepung dan 2 kg gula. Persediaan tepung di pabrik adalah 10 kg dan persediaan gula adalah 8 kg. Keuntungan dari setiap loyang kue cokelat adalah Rp20.000,00 dan kue vanila adalah Rp15.000,00. Berapa loyang masing-masing jenis kue yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimal?

Pembahasan:

  • Identifikasi Variabel Keputusan:
    Misalkan $x$ = jumlah loyang kue cokelat yang diproduksi.
    Misalkan $y$ = jumlah loyang kue vanila yang diproduksi.

  • Perumusan Fungsi Tujuan:
    Fungsi tujuan (total keuntungan) $Z = 20.000x + 15.000y$. Kita ingin memaksimalkan $Z$.

  • Perumusan Kendala:

    • Kendala tepung: $2x + 1y le 10$
    • Kendala gula: $1x + 2y le 8$
    • Kendala non-negatif: $x ge 0, y ge 0$

  • Menyelesaikan dengan Metode Grafis:
    Gambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan:

    1. $2x + y le 10$
      • Titik potong sumbu x (y=0): $2x = 10 Rightarrow x = 5$. Titik (5, 0).
      • Titik potong sumbu y (x=0): $y = 10$. Titik (0, 10).
    2. $x + 2y le 8$
      • Titik potong sumbu x (y=0): $x = 8$. Titik (8, 0).
      • Titik potong sumbu y (x=0): $2y = 8 Rightarrow y = 4$. Titik (0, 4).
    3. $x ge 0, y ge 0$

    Cari titik potong antara garis $2x + y = 10$ dan $x + 2y = 8$.
    Dari $2x + y = 10 Rightarrow y = 10 – 2x$.
    Substitusikan ke persamaan kedua:
    $x + 2(10 – 2x) = 8$
    $x + 20 – 4x = 8$
    $-3x = 8 – 20$
    $-3x = -12$
    $x = 4$

    Substitusikan $x=4$ kembali ke $y = 10 – 2x$:
    $y = 10 – 2(4) = 10 – 8 = 2$.
    Jadi, titik potong kedua garis adalah (4, 2).

    Titik-titik ekstrim daerah penyelesaian adalah:

    • O (0, 0)
    • A (5, 0) (titik potong $2x+y=10$ dengan sumbu x)
    • B (4, 2) (titik potong $2x+y=10$ dan $x+2y=8$)
    • C (0, 4) (titik potong $x+2y=8$ dengan sumbu y)

    Substitusikan koordinat titik-titik ekstrim ke dalam fungsi tujuan $Z = 20.000x + 15.000y$:

    • Di O(0, 0): $Z = 20.000(0) + 15.000(0) = 0$.
    • Di A(5, 0): $Z = 20.000(5) + 15.000(0) = 100.000$.
    • Di B(4, 2): $Z = 20.000(4) + 15.000(2) = 80.000 + 30.000 = 110.000$.
    • Di C(0, 4): $Z = 20.000(0) + 15.000(4) = 60.000$.

    Keuntungan maksimal diperoleh di titik B(4, 2) dengan nilai Rp110.000,00.

  • Kesimpulan Soal 3:
    Agar diperoleh keuntungan maksimal, pabrik roti harus memproduksi 4 loyang kue cokelat dan 2 loyang kue vanila.

See also  Bank Soal Kelas 2 Semester 2 2018

6. Tips dan Trik Mengerjakan Soal Program Linear

  • Baca Soal dengan Teliti: Pahami konteks masalah, apa yang ingin dioptimalkan, dan apa saja kendalanya.
  • Buat Sketsa Grafik: Menggambar grafik sangat membantu dalam memvisualisasikan daerah penyelesaian dan menemukan titik-titik ekstrim.
  • Perhatikan Tanda Pertidaksamaan: Tanda $(le, ge)$ menentukan arah daerah penyelesaian, dan tanda $(, )$ pada titik potong mempengaruhi apakah titik tersebut termasuk dalam daerah penyelesaian atau tidak (biasanya tidak terlalu krusial untuk menentukan nilai optimal, tetapi penting untuk keakuratan).
  • Teliti Perhitungan Titik Potong: Kesalahan dalam menghitung titik potong akan berakibat pada salahnya titik ekstrim dan nilai optimal.
  • Uji Titik Ekstrim: Selalu substitusikan semua titik ekstrim ke dalam fungsi tujuan untuk memastikan mana yang memberikan nilai optimal.
  • Interpretasikan Hasil: Kembalikan hasil perhitungan ke dalam konteks soal. Jika hasilnya berupa desimal dan tidak memungkinkan secara fisik (misalnya jumlah unit barang), maka mungkin ada informasi tambahan yang terlewat atau soal mengarah ke program linear bilangan bulat.

7. Kesimpulan

Program linear adalah alat yang ampuh untuk menyelesaikan masalah optimasi dalam berbagai skenario. Dengan memahami konsep dasar, mampu merumuskan model matematika, dan menguasai metode penyelesaian grafis, siswa kelas 11 semester 1 dapat dengan percaya diri menghadapi berbagai soal program linear. Latihan yang konsisten adalah kunci untuk menguasai materi ini. Melalui contoh-contoh soal yang telah dibahas, diharapkan pemahaman siswa menjadi lebih mendalam dan aplikatif.

admin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *